Beş katı cisim: Platonik Cisimler

Yüzeyleri ile kenarları birbirine eş olan ve çokgen köşelerinde aynı sayıda kesişenlerine sahip 3 boyutlu şekillere verilen addır. Düzgün katı cisim ya da beş katı cisim de denir. İlk defa Platon (Nâm-ı diğer: Eflatun) tarafından ortaya konmuştur ve onun da belirttiği kadarıyla toplam beş tanedirler (bilinen kadarıyla). 


1. Tetrahedron (4 yüzlü üçgen): ateşi sembolize eder.

Yüzey türü: Eşit kenar üçgen, farklı ağlar sayısı: 2

4 tane köşesi, 6 tane kenarı, 4 adet yüzü, 3 tane yüzeydeki kenarı, 3 tane de köşede buluşan kenar sayısı vardır. Schläfli sembolü {3,3}, duali de kendisidir.

2. Heksahedron (küp, veya 6 yüzlü kare): toprağı sembolize eder.

Yüzey türü: Kare, farklı ağlar sayısı: 11

8 tane köşesi, 12 tane kenarı, 6 adet yüzü, 4 tane yüzeydeki kenarı, 3 tane de köşede buluşan kenar sayısı vardır. Schläfli sembolü {4,3}, duali ise oktahedrondür.

3. Oktahedron (8 yüzlü üçgen): havayı sembolize eder.

Yüzey türü: Eşit kenar üçgen, farklı ağlar sayısı: 11

6 tane köşesi, 12 tane kenarı, 8 adet yüzü, 3 tane yüzeydeki kenarı, 4 tane de köşede buluşan kenar sayısı vardır. Schläfli sembolü {3,4}, duali de heksahedrondür.

4. Dodekahedron (12 yüzlü beşgen): evreni temsil eder

Yüzey türü: Düzenli beşgen (pentagon), farklı ağlar sayısı: 43380

20 tane köşesi, 30 tane kenarı, 12 adet yüzü, 5 tane yüzeydeki kenarı, 3 tane de köşede buluşan kenar sayısı vardır. Schläfli sembolü {5,3}, duali ise ikosahedrondür.

5. İkosahedron (20 yüzlü üçgen): suyu sembolize eder.

Yüzey türü: Eşit kenar üçgen, farklı ağlar sayısı: 43380

12 tane köşesi, 30 tane kenarı, 20 adet yüzü, 3 tane yüzeydeki kenarı, 5 tane de köşede buluşan kenar sayısı vardır. Schläfli sembolü {3,5}, duali de dodekahedrondür.

Bu cisimlerin niteliklerine bakıldığı zaman, 3'ün çok önemli bir sayı olduğu görülür. Çünkü üç boyutlu (bkz: 3d) bir cismin oluşabilmesi için bir köşede kesişmesi gereken azami kenar sayısıdır. Üstelik tetrahedronun dualinin (ikil) bulunmaması da buna örnektir.

Çizimlerdeki köşe sayısı (k) ile yüzey sayılarını (y) toplayıp, tüm kenar sayısını (a) çıkarırsak, her zaman 2 sayısını elde ederiz. Bu kural tüm konveks (dışbükey) çizimler için de geçerlidir (k+y-a=2).

Platon'a göre, doğada 4 temel madde vardır ve bu dört temel maddenin (toprak, hava, su ve ateş) karşılığı bu cisimlerle ifade edilir. Beşinci cisim ise (dodekahedron/12 yüzlü beşgen) tanrının kontrolünde olan (evren) kutsal bir çizimdir, lakin bunun niteliği, insanı aşar ve tüm evreni kapsar.